Kalkulus Wikipédia

Kalkulus (basa Latin: calculus, tegesé “watu cilik”, kanggo ngétung) iku cabang èlmu matématika kang nyakup limit, turunan, integral, lan dhèrèt ora kakira étungané. Kalkulus iku èlmu ngenani owah-owahan, kaya déné géometri iku èlmu ngenani wangun lan aljabar iku èlmu ngenani panggarapkan kanggo mecahaké pepadhan sarta aplikasiné. Kalkulus dikembangké saka aljabar lan geometri. Kalkulus mligi nyinaoni kang ana gayutané karo laju utawa tingkat pagerakan, misalé percepatan, kurva, lan kamiringan. Kalkulus duwé aplikasi kang wiyar sajeroning babagan-babagan sains, ékonomi, lan tèhnik; sarta bisa mecahaké manéka masalah kang ora bisa dipecahaké mawa aljabar èlemèntèr.

Dhasar kalkulus yaiku turunan, integral, lan limit. Salah siji tujuan utama perkembangan kalkulus yaiku kanggo pamecahan masalah garis singgung.

Kalkulus duwé rong cabang utama, kalkulus diferensial lan kalkulus integral kang silih gegandhèngan liwat téoréma dhasar kalkulus. Pelajaran kalkulus iku lawang gerbang nuju wulangan matématika liyané kang luwih dhuwur, kang mirunggan nyinaoni fungsi lan limit, kang kanthi umum dijenengi analisis matématika.

Perkembangan kalkulus mligi dijurung déning Archimedes, Leibniz, Newton, Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens, lan Wallis.

Sir Isaac Newton iku panemu lan kontributor kalkulus kang misuwur. Gottfried Wilhelm Leibniz ing awalé ditutuh njiplak saka asil makarya Sir Isaac Newton kang ora dipublikasikaké, nanging saiki dianggep kontributor kalkulus kang asil kerjané dilakokaké kanthi kapisah.Sajarah perkembangan kalkulus bisa dideleng ing sapérangan périodhe jaman, yaiku jaman kuna, jaman patengahan, lan jaman modhèren. Ing périodhe jaman kuna, sapérangan pamikiran ngenani kalkulus integral wis mijil, nanging ora dikembangaké kanthi becik lan sistematis. Pangétungan volume lan wiyar kang wujud fungsi utama saka kalkulus integral bisa ditlusuri manèh ing Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Ing papirus mau, wong Mesir wis bisa ngétung volume piramida kapancung.[1] Archimedes ngembangaké pamikiran iki luwih adoh lan ngripta heuristik kang mèmper kalkulus integral.[2]

Nalika jaman patengahan, matématikawan India, Aryabhata, migunakaké konsèp cilik ora kaétung nalika taun 499 lan ngèksprèsikaké masalah astronomi sajeroning wangun pepadhan diferensial dhasar.[3] Pepadhan iki banjur ngeteraké Bhāskara II ing abad angka 12 kanggo ngembangaké wangun awal turunan kang makili owah-owahan kang cilik banget ora kaétung lan njelasaké wangun awal saka “Téoréma Rolle”.[4] Watara taun 1000, matématikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) dadi wong pisanan kang ngedhunaké rumus pangétungan asil gunggung pangkat papat, lan kanthi migunakaké indhuksi matématika, panjenengané ngembangaké siji métodhe kanggo ngedhunaké rumus umum saka asil pangkat integral kang wigati banget marang perkembangan kalkulus integral.[5] Nalika abad angka 12, siji wong Pèrsi Sharaf al-Din al-Tusi nemu turunan saka fungsi kubik, siji asil kang wigati sajeroning kalkulus diferensial.[6] Nalika abad angka 14, Madhava, bebarengan karo matématikawan-astronom saka madahab astronomi lan matématika Kerala, njelasaké kasus mirunggan saka dhèrèt Taylor[7], kang ditulisaké sajeroning tèks Yuktibhasa.[8][9][10]

Ing jaman modhèren, panemon indhepèndhen dumadi nalika awal abad angka 17 ing Jepang déning matématikawan kaya déné Seki Kowa. Ing Éropah, sapérangan matématikawan kaya déné John Wallis lan Isaac Barrow mènèhaké terobosan sajeroning kalkulus. James Gregory mbuktèkaké siji kasus mirunggan saka téoréma dhasar kalkulus nalika taun 1668.

Leibniz lan Newton nyurung pamikiran-pamikiran iki bebarengan minangka siji kamanunggalan lan kaloro èlmuwan mau dianggep panemu kalkulus kanthi kapisah ing sajeroning wektu kang mèh bebarengan. Newton ngaplikasikaké kalkulus kanthi umum menyang babagan fisika sauntara Leibniz ngembangaké notasi-notasi kalkulus kang akèh dipigunakaké saiki.

Nalika Newton lan Leibniz mublikasikaké asilé kanggo sepisanané, mijil kontrovèrsi ing antarané matématikawan ngenani endi kang luwih patut kanggo nampa bebungah marang kerjané. Newton ngedhunaké asil kerjané luwih dhisik, nanging Leibniz kang pisanan mublikasikaké. Newton nutuh Leibniz nyolong pamikirané saka cathetan-cathetan kang ora dipublikasikaké, kang asring disilihaké Newton marang sapérangan anggota saka Royal Society.

Pamriksan kanthi princi nuduhaké yèn kaloroné nyambut gawé kanthi kapisah, kanthi Leibniz miwiti saka integral lan Newton saka turunan. Saiki, Newton lan Leibniz diwènèhi bebungah sajeroning ngembangaké kalkulus kanthi kapisah. Leibniz kang mènèhi jeneng marang èlmu cabang matématika iki minangka kalkulus, sauntara Newton njenengi “The science of fluxions”.

Wiwit wektu iku, akèh matématikawan kang mènèhaké kontribusi marang pangembangan luwih lanjut saka kalkulus.

Kalkulus dadi topik kang umum banget ing SMA lan universitas jaman modhèren. Matématikawan saindhenging donya terus mènèhaké kontribusi marang perkembangan kalkulus.[11]

Sanajan sapérangan konsèp kalkulus wis dikembangaké luwih dhisik ing Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Pèrsi, lan Jepang, panggunaaan kalkulus modhèren diwiwiti ing Éropah nalika abad angka 17 wektu Isaac Newton lan Gottfried Wilhelm Leibniz ngembangaké prinsip dhasar kalkulus. Asil kerjané banjur mènèhi prabawa kang kuwat marang perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial ngambah pangétungan karikatan lan percepatan, kamiringan siji kurva, lan optimalisasi. Aplikasi saka kalkulus integral ngambah pangétungan wiyar, volume, dawa busur, punjer massa, makarya, lan tekanan. Aplikasi luwih adoh ngambah dhèrèt pangkat lan dhèrèt Fourier.

Kalkulus uga kanggo éntuk pamahaman kang luwih rinci ngenani ruwang, wektu, lan obah (obah). Sakwéné maabad-abad, para matématikawan lan filsuf ngupaya mecahaké paradhoks kang ngambah pambagian wilangan karo nol utawa uga gunggung saka dhèrèt ora kaétung. Sawijining filsuf Yunani kuna mènèhaké sapérangan conto misuwur kaya déné paradhoks Zeno. Kalkulus mènèhaké solusi, mligi ing babagan limit lan dhèrèt ora kaétung, kang banjur kasil mecahaké paradhoks mau.

Limit lan cilik ora kakira étungané[besut | besut sumber]
Dhéfinisi limit: ditélakaké yèn limit f(x) nalika x nyeraki titik p iku L yèn kanggo saben wilangan ε > 0 apa waé, ana wilangan δ > 0, samengkono rupané: 0 <<> | x − p | <<> δ ⇒ | f ( x ) − L | <<> ϵ x − p